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Chapitre 2

Deuxième partie
Bobines et condensateurs parfaits

- Bobines et condensateurs
- Le condensateur
- La bobine

Après le composant Résistance dont nous avons étudié le comportement en présence de courants continus et de courants alternatifs, nous étudions deux composants qui ont des comportements particuliers en présence de courants alternatifs : la bobine et le condensateur.

Bobines et condensateurs

• Dans les formules simplifiées qui suivront, le facteur 159 est fréquemment utilisé au numérateur des fractions.

- Ce nombre correspond à une approximation de 1000 / (2 x π)
> A l’examen, on indique aussi "en retenant 1 / (2 x π) = 0,16". Dans ce cas, on utilisera les mêmes formules avec le facteur 160.

- Dans les questions de l’examen portant sur des calculs faisant intervenir le nombre π (impédance, fréquence, …), les résultats sont toujours arrondis.

Le condensateur et la bobine possèdent leurs propres caractéristiques et ont des comportements opposés mais complémentaires.

Exemples de condensateurs et de bobines

Voici quelques hommes qui sont à l'origine des phénomènes que nous allons étudier dans ce cours.

Michael Faraday est un physicien et un chimiste britannique, connu pour ses travaux fondamentaux dans le domaine de l'électromagnétisme, l'électrochimie, le diamagnétisme, et l'électrolyse. Il donne son nom à de multiples lois et phénomènes dans ces domaines, notamment la loi de Faraday (ou Lenz-Faraday) en induction électromagnétique, les lois de Faraday en électrochimie, l'effet Faraday, ou encore à des dispositifs expérimentaux comme la cage de Faraday et la cavité de Faraday.

Le farad, unité de capacité électrique, est également nommée en son honneur.

Heinrich Lenz est professeur puis recteur à l'université impériale de Saint-Pétersbourg, où il refait les expériences de Faraday. Son nom est resté attaché à la loi sur l'interaction courant électrique - champ magnétique.

Il observe en 1833 l'augmentation de la résistance des métaux avec la température et étudie l'effet Peltier.

Joseph Henry est un physicien américain qui découvrit l'auto-induction et le principe de l'induction électromagnétique des courants induits.

En 1831, il créa une unité de mesure d'induction électrique qui fut nommée le henry en son honneur. Henry expérimenta et améliora l'électroaimant, inventé en 1823 par l'Anglais William Sturgeon. Dès 1829, il avait développé des électroaimants d'une grande puissance de levée. En 1831, il fabriqua le premier télégraphe électromagnétique opérationnel. Henry conçut et construisit également l'un des premiers moteurs électriques…

Wilhelm Eduard Weber est un physicien allemand. On lui doit une théorie originale de l'interaction électromagnétique.

Docteur en 1826 de l'Académie de Berlin (1863), correspondant de l'Institut (1865), Wilhelm Eduard Weber fut professeur de physique à l'université de Göttingen.

Gauss et Weber ont publié de 1837 à 1843 les résultats des observations de la Société magnétique.

Weber a publié de 1846 à 1856 d'importantes recherches sur la détermination des forces électrodynamiques.

Rentrons maintenant dans le vif du sujet

Le condensateur

origines du phénomène

On parle de l'effet électrostatique.

Représentation schématique

Unités : le Farad : μF, nF, pF

Capacité : C = d . S / E

C : Capacité / d :coefficient diélectrique (pour le diélectrique) / S : Surface en cm² / E : épaisseur de la plaque en 10ème de milimètre.

calcul pratique : C(pF) = 8,85 . S (cm²) / E (1/10 mm)
- permittivité ε₀ = 8,85 pF/m [= (1/36π).10^-9 F/m]
- coefficient diélectrique (ou permittivité relative ε_r), rigidité diélectrique (en kV/mm)

Rem : ε se dit Epsilon

- condensateurs électrochimiques (polarisés)

Définitions physiques

C(F) = Q(C) / U(V) ou Q(C) = C(F) . U(V)

E(J) =½ . Q(C) . U(V)

on rappelle que Q = I x t

Code des couleurs

Pour les chiffres, l'odre des couleurs est exactement le même que pour les resistances.

La bobine

origines du phénomène

On parle de l'effet électromagnétique.

Représentation schématique

Unités : le Henry : mH, μH, nH

Inductance : L = F . N² . D² L en l’honneur de H. Lenz
Nagaoka simplifiée L(μH)=[N²xD²(cm)]/[45 D(cm)+100 long(cm)]
- formule de base : L = μ_o.D².N²/long
- perméabilité (μ_o = 1,26 μH/m [= 4π.10^-7 H/m], μ_r (noyau)
- matériau magnétique (fer, ferrite, nickel) et diamagnétique (cuivre, zinc)
- flux d’induction magnétique (ϕ en Weber). 1 Weber est le flux d'induction magnétique qui, traversant un circuit d'une seule spire, y produit une force électromotrice de 1 volt si on l'annule en 1 seconde par une décroissance uniforme : ϕ = U x t

Rem : ϕ se dit : Fi

Définitions physiques

ϕ(Wb) = L(H) . I(A) ou L(H) = ϕ(Wb) / I(A)

E(J) = ½ L(H) . I²(A)

Comment utiliser nos lois d'Ohm et de Joule avec les condensateurs et les bobines ?

• Lorsqu’ils sont traversés par des courants alternatifs, les bobines et les condensateurs réagissent différemment :
- le condensateur ne laissera passer que la composante alternative d’une tension
- la bobine s’opposera à toutes variations de l’intensité qui la parcourt.

• Bien que ces phénomènes se mesurent en ohms, on ne peut plus parler de résistance. Le terme d’impédance (notée Z) est employé et plus précisément :
- réactance dans la cas de la bobine
- capacitance (ou réactance négative) pour le condensateur

Rem : Le therme "impédance vient de impédiment". Les impédiments sont les bagages qui ralentissent la marche d’une armée.

• Aucune énergie n’est consommée : les bobines et les condensateurs, s’ils sont parfaits, emmagasinent l’énergie puis la restituent à l’identique (pas de perte en chaleur ou dans le champ magnétique de la bobine).

Rappel : pulsation = ω (rad/s) = 2 π . F(Hz)

• Calcul de l’impédance d’un condensateur :

- Capacitance : Z_C= 1 / ωC = 1 /[2 . π . F(Hz) . C(F)]

- formule simplifiée : Z(Ω) = 159 / F(MHz) / C(nF)

> C = Q / U

> C = (I x t) / U

> t / C = U / I

En cas de variation d’intensité, t = 1/2πF (partie active)

> 1 / (2πF x C) = Z

• Calcul de l’impédance d’une bobine :

- Réactance : Z_L = ωL = 2 . π . F(Hz) . L(H)
- formule simplifiée : Z(Ω) = 6,28 x F(MHz) x L(μH)
> L =ϕ / I
> L = (U x t) / I
> L / t = U / I
En cas de variation de tension, t = 1/2πF (partie active)
> 2πF x L = Z

le calcul de l’impédance donné ici ne s’applique qu’à un signal sinusoïdal

Les groupements de condensateurs et de bobines

• Capacité équivalente d’un groupement de condensateurs :
- calcul inverse des résistances
- série : C_t = 1/[(1/C1) + (1/C2)] = (C1 x C2) /(C1 + C2)
Répartition de la tension au prorata inverse : le plus petit condensateur a la tension la plus élevée à ses bornes (Q = C x U et Q_C1 = Q_C2)
- parallèle : C_t= C1 + C2

• Inductance équivalente d’un groupement de bobines :

- calcul comme pour les résistances

- série : L_t = L1 + L2 ± M

M = mutuelle induction (± selon le sens des spires et valeur selon le coefficient de couplage)

- parallèle : rarement utilisé et complexe en cas de mutuelle induction

Remarque

• Dans une résistance, tension et intensité sont en phase (loi d’Ohm)

• On mesure le déphasage par rapport à l’intensité (voir tableau ci-dessous).

• Dans un condensateur,
- il y a d'abord établissement du courant puis établissement de la tension car le courant remplit le condensateur.
- La tension est en retard de 90° par rapport au courant.

• Dans une bobine,
- une tension est préalablement nécessaire pour générer un courant puis, une fois la réserve d’énergie créée sous la forme d’un champ magnétique, le courant s’établit.
- La tension est en avance de 90° par rapport au courant.

Mise en pratique par le calcul

• Exemple 1 : un condensateur variable a une capacité de 100 pF. Quelle sera sa valeur si la surface des lames en vis à vis est diminué de moitié ?
C = d . S / E, si S / 2 alors C / 2 donc C = 100 / 2 = 50 pF

• Exemple 2 : l’inductance d’une bobine cylindrique a une valeur de 5 μH. Cette bobine possède 40 spires. Quelle sera la valeur de l’inductance avec seulement 10 spires (en nH) ?
- L = F . N² . D² ; si N / 4 > L / 4² > L / 16 > L = 5μH / 16 = 0,3125 μH = 312,5 nH
- Remarque : dans la vraie vie, la bobine change de forme (soit elle est plus courte, soit l’espace entre les spires augmente, ce qui implique que les spires "embrassent" moins le champ magnétique qui s’échappe plus facilement). Donc, son inductance n’est pas exactement proportionnelle au carré des spires.

• Exemple 3 : Calculer Z

Z = ωL = 2πFL = 6,28 X 8.10⁶ X 12,5.10^-6 = 6,28 X 8 X 12,5 = 628 Ω

Sur une calculette :
en écriture naturelle on écrira : 2 X [π] X 8.10⁶ (F) X 12,5.10^-6 (L) = 628.10⁰ = 628Ω

Formule simplifiée :
6,28 X 8 (F en MHz) X 12,5 (L en μH) = 628 Ω

• Exemple 4 : Quelle est la valeur du condensateur (en μF) et la quantité d'énergie (en mJ) emmagasinée dans le condensateur ?

Réponse : C(F) = Q(C) / U(V) = 0,0008 / 20 = 0,00004 F = 40 μF

E(J) = 1/2 X Q(C) X U(V) = 1/2 X 0,0008 X 20 = 0,008 J = 8mj

On peut ici aussi, utiliser le système du triangle pour s'en sortir.

• Exemple 5 : Calculer l'impédance du condensateur (en Ω)

Réponse : Z = 1/(2πFC) = 1/(6,28 X 15.10³ X 10.10^-6) = 10³/(6,28X15X10) = 1000/(6,28 x 150) ≈ 1 Ω
14 Vmax X 0,707 ≈ 10 Veff ; I = U / Z = 10V / 1Ω = 10 Aeff (valeur exacte = 9,33)
Sur une calculatrice, calcul de l'impédance du condensateur :
en écriture naturelle : Z = 1 / (2 X [π] X 15.10³(F) X 10.10^-6(C) = 1,0610.10⁰ ≈ 1
Formule simplifiée : 159 / (F X C) = 159 / 0,015 (F en MHz) / 10000 ≈ 1